Математическое решение задачи о резке лука

0.55730669298566447885109305914592718083200030207273275933982921319 469813512721045869752955634889277923842151572976414436602614498558

Дилан Ричард Поулсен (Dylan Poulsen), Вашингтонский колледж, профессор математики, математик и педагог, стремящийся дарить радость от математики, drspoulsen.github.io

Впервые я заинтересовался задачей нарезки лука таким образом, чтобы уменьшить дисперсию объёмов ломтиков, на встрече с друзьями. Один из моих друзей и коллег, доктор Гейб Файнберг, тоже математик, показал мне видео.

В этом видео шеф-повар Кенджи Лопес-Альт рассказывает, что у него есть друг-математик, который утверждает, что резать следует радиально к точке, расположенной на 60% радиуса ниже центра луковицы, и упоминает, что это может быть связано с обратной величиной золотого сечения: 0,61803398875...

Меня это заинтриговало, и я даже начал резать лук дома этим методом, просто потому что это меня радовало.

Каждый раз, когда я нарезал лук на ужин, мои мысли блуждали. Я размышлял о том, почему это так, и какие приёмы можно использовать для решения этой проблемы. Хотя для меня это было медитативным занятием, эти размышления ни к чему существенному не привели за 2 месяца.

Далее мои мысли действительно привели меня к решению. За 2 дня я нашёл «истинную луковую константу», которая не является обратной величиной золотого сечения. Глубина, на которую нужно направлять нож для радиальных разрезов, зависит от количества слоёв. Это можно увидеть, представив, как разрезать луковицу с одним слоем и луковицу с 10 слоями, чтобы кусочки получились максимально похожими. Для одного слоя нужно направлять лезвие к центру луковицы, а для десяти - куда-то ниже центра. Поэтому для упрощения я представил себе луковицу с бесконечным количеством слоёв, так сказать «великую луковицу в небесах», что мне очень нравится. Подобные абстракции широко распространены в математике и упрощают решение задач. Если существует бесконечное количество слоёв, имеет смысл рассматривать бесконечное количество разрезов. Это переводит задачу в область непрерывной математики, где исчисление может быть использовано с большой эффективностью.

Вам, вероятно, потребуется знание многомерного исчисления, чтобы понимать, о чём я говорю. Я перейду к использованию «мы» вместо «я», чтобы соответствовать принятым математическим правилам записи и обозначить, что мы (вы, дорогой читатель, и я) идём по этому математическому пути вместе.

Сначала мы моделируем луковицу как половину круга радиусом один, с центром в начале координат, полностью расположенного в первых двух квадрантах прямоугольной (декартовой) системы координат. Это игнорирует измерение и, возможно, также некоторую геометрию реальных луковиц (действительно ли поперечные сечения являются окружностями?), но делает задачу разрешимой и по-прежнему является хорошим приближением.

Понимание, приводящее к решению, приходит из якобиана (обобщение производной функции переменной в случае отображения из пространства евклида, Евклид - первый математик). При переходе от прямоугольных координат к полярным при интегрировании небольшие прямоугольные участки площади

dxdy преобразуются в небольшие участки площади rdrd(), где x=rcos() и y=rsin(). Идея якобиана применима ко всем преобразованиям систем координат. Якобиан можно вычислить как / формула /. Далее идет заоблачный полет великой луковицы небес в формулах свободной от тяготения к центру или окраинам математической фантазии.

Мы видим, что минимальная дисперсия составляет около h=0,55. Мы можем использовать метод численной минимизации, чтобы найти значение h, минимизирующее дисперсию. Я уверен в этом числе только с точностью до 7 знаков после запятой, но «истинная константа лука» для «луковицы в небе» равна 0,5573066…

Чтобы получить максимально ровные разрезы лука, делая радиальные разрезы, следует стремиться к точке, расположенной на 55,73066% от радиуса луковицы ниже центра. Это близко, но отличается от значения 61,803% в видео которое предложил доктор Гейб Файнберг, тоже математик. Кроме того, это число будет отличаться для луковиц с конечным числом слоёв (то есть для всех луковиц). Тем не менее, я считаю этот ответ прекрасным, и я всегда буду хранить истинную константу лука.

Думаю, было бы интересно рассмотреть влияние количества слоёв на этот ответ. Поскольку при наличии одного слоя наилучшая стратегия - резать по направлению к центру, я подозреваю, что оптимальная глубина h для резки по направлению к нему увеличивается от нуля при наличии одного слоя, при этом верхняя граница глубины равна 0,5573066…. Таким образом, оптимальная глубина для луковицы с 10 слоями будет где-то между 0 и 0,5573066. Я не исследовал этот вопрос подробно, но это кажется интересным следующим шагом. Надеюсь, теперь мы все достаточно знаем о луке.

Я (и мы) могу вычислить константу лука с любой точностью. Вот она, с точностью до 1000 знаков после запятой:

0.55730669298566447885109305914592718083200030207273275933982921319 4698135127210458697529556348892779238421515729764144366026144985585 4165046873271472618959107816152780606384065758548635804885244580180 0007394442805906736214054844087432881741438971785006588976790490992 3546045053996637979358236569783223477190862479127621607686248472908 3731336235000704236891376747519710815301807822317779086701048122723 0239150930543232987021503400654503271867566236420521560986469125085 8159370220537524022076834487502663198536347064463252552885622069125 8227307037720900190873707797080215945078389222941122441664099620992 6654693052663485088353188368234518499463417515539540122160704233743 5539919306999218795184234750992607153483541905867849402571200687099 2663407278202945110198402208378584410140122892631419360798953694134 2227610384234804380488890547391245831871629728678785899984149264095 1979084439023291773013425234306472822863355983488650721455375797473 6357343027167265972675903577598983959532796594227162648681839040…

Такая прекрасная математическая константа заслуживает имени. Я (и мы) решил использовать еврейский символ «самех» (Samekh), потому что он очень похож на луковицу.

29.08.2025

Комментарий:

Шнобелевская премия 2021 по экологии

За использование генетического анализа для выявления различных видов бактерий, обитающих в выброшенной в разных странах жевательной резинки, Лейла Сатари, Альба Гильен, Анжела Видал-Верду, Мануэль Поркар, получили Шнобелевскую премию 2021 года по экологии
подробнее

Шнобелевская премия 2023 по литературе

Джамайс вю (Jamais vu) - явление, которое действует как противоположность дежавю, то есть нахождения субъективно незнакомого чего-то, что, как мы знаем, знакомо. Может включать в себя взгляд на знакомое лицо и внезапное открытие его необычным, неизвестным
подробнее

Источник - пресса

Шнобель Процедура Пресса Анналы Архив Статьи Шнобелист